bootstrap で Youtube 動画をレスポンシブに埋め込む

ここhttp://getbootstrap.com/components/#responsive-embedに答えが書いてあります。

<!-- 16:9 aspect ratio -->
<div class="embed-responsive embed-responsive-16by9">
  <iframe class="embed-responsive-item" src="..."></iframe>
</div>

<!-- 4:3 aspect ratio -->
<div class="embed-responsive embed-responsive-4by3">
  <iframe class="embed-responsive-item" src="..."></iframe>
</div>

16:9 か 4:3 のいずれかのアスペクト比を選ぶ必要があります。
bootstrap を使えば、これだけでレスポンシブ対応できます。
スマホでも画面ピッタリのサイズで表示できます。